Question

等比數列{a_n}中a₄-a₂=a₂+a₃=3
（1）求{a_n}前n項和S_n
（2）數列{b_n}中，b₁=-1，b₂=0，且{b_n}前n項和T_n滿足T_n+1+T_n-1=2T_n+1（n≥2，n∈N^*）
（Ⅰ）求數列{b_n}通項公式．
（Ⅱ）設f（n）=

Sn

8

+

1

2bn

，試確定n（n∈N^*）的值，使得f（n）取得最小值并求出最小值．

Answer 1

考點：數列與函數的綜合,數列遞推式

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）設出等比數列的首項與公比，通過關系式求出首項與公比，即可求求{a_n}前n項和S_n
（2）（I）通過數列{b_n}中，數列{b_n}的前n項和T_n滿足：T_n+1+T_n-1=2T_n+1（n≥2，n∈N^*）．推出數列的第n項與第n+1的關系，說明數列是等差數列，求出通項公式；
（Ⅱ）f（n）=

Sn

8

+

1

2bn

=

1

16

（2ⁿ-1）+

4

2n

，利用基本不等式，即可確定n（n∈N^*）的值，使得f（n）取得最小值并求出最小值．

解答： 解：（1）等比數列{a_n}中，
∵a₄-a₂=a₂+a₃=3，
∴a₁q³-a₁q=a₁q+a₁q²=3，
解得a₁=

1

2

，q=2，
∴S_n=

1 2 (1-2n)

1-2

=

1

2

（2ⁿ-1）．
（2）（Ⅰ）∵數列{b_n}的前n項和T_n滿足：T_n+1+T_n-1=2T_n+1（n≥2，n∈N^*）．
∴b_n+1+b_n+2T_n-1=2T_n-1+1+2b_n，∴b_n+1-b_n=1，
∵b₁=-1，∴數列{b_n}是等差數列，首項為-1，公差為1，
∴b_n=n-2，
（Ⅱ）f（n）=

Sn

8

+

1

2bn

=

1

16

（2ⁿ-1）+

4

2n

=4（

2n

4

+

1

2n

）-

1

16

≥

63

16

，
當且僅當

2n

4

=

1

2n

，即n=1時，f（n）取得最小值

63

16

．

點評：本題是中檔題，考查數列的遞推關系式的應用，判斷數列是否是等比數列、等差數列，利用通項公式、前n項和求解，考查計算能力．