Question

15．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（0＜a＜b）的實(shí)軸長為4，截直線y=x-2所得弦長為20$\sqrt{2}$．求：
（1）雙曲線的方程；
（2）漸近線方程．

Answer 1

分析 （1）由直線與雙曲線聯(lián)立得（b²-4）x²+16x-16-4b²=0，利用截直線y=x-2所得弦長為20$\sqrt{2}$，即可求出雙曲線的方程；
（2）利用雙曲線方程，求出漸近線方程．

解答 解：（1）∵2a=4，∴a=2，
由直線與雙曲線聯(lián)立得（b²-4）x²+16x-16-4b²=0，
∴|x₁-x₂|=$\frac{4^{2}}{|4-^{2}|}$，
又弦長為$\sqrt{2}$|x₁-x₂|=20$\sqrt{2}$，∴|x₁-x₂|=20，
∴$\frac{4^{2}}{|4-^{2}|}$=20，解得b²=5或b²=$\frac{10}{3}$＜4（舍去），
∴雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{5}$=1．
（2）∵雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{5}$=1，
∴漸近線方程為y=±$\frac{\sqrt{5}}{2}$x．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查直線與雙曲線位置關(guān)系的運(yùn)用，屬于中檔題．