Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2x+a
（1）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，求不等式f（x）＞1的解集；
（2）若對(duì)于任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）a=

1

2

時(shí)，化簡(jiǎn)不等式，根據(jù)二次不等式的求解方法可得結(jié)果；
（2）f（x）＞0即x²+2x+a＞0對(duì)?x∈[1，+∞）恒成立，分離出參數(shù)a后轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題可求；

解答：解：（1）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，f（x）＞1即x2+2x+

1

2

＞1，化簡(jiǎn)得2x²+4x-1＞0，
解得x＞-1+

6

2

或x＜-1-

6

2

，
∴不等式f（x）＞1的解集為：{x|x＞-1+

6

2

，或x＜-1-

6

2

}；
（2）f（x）＞0即x²+2x+a＞0對(duì)?x∈[1，+∞）恒成立，可化為a＞-x²-2x對(duì)?x∈[1，+∞）恒成立，
令g（x）=-x²-2x，可知g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=1時(shí)，g_max（x）=-3，
∴a＞-3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查一元二次不等式的求解、函數(shù)恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，恒成立問題常轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題解決．