Question

已知棱長等于2

3

的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，它的外接球的球心為O，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是球O的球面上任意一點(diǎn)，有以下判斷：①該正方體外接球的體積是36π；②異面直線OE與B₁C所成角為90°；③PE長的最大值為3+

6

；④過點(diǎn)E的平面截球O的截面面積的最小值為6π．其中所有正確判斷的序號(hào)是

①②③

．

Answer 1

分析：根據(jù)正方體外接圓的直徑是正方體的體對(duì)角線可求外接圓的半徑；當(dāng)過球內(nèi)一點(diǎn)E的截面與OE垂直時(shí)，截面面積最小可求截面半徑；
球面上到球內(nèi)一點(diǎn)距離最大時(shí)，是在球的直徑的一個(gè)端點(diǎn)上等知識(shí)求解．

解答：解：∵外接球的半徑R=

(2 3 )2+(2 3 )2+(2 3 )2

2

=3，∴V_球=

4

3

π×27=36π，∴①√；
∵OE∥BC₁，BC₁⊥B₁C，∴OE⊥B₁C，∴②√；
∵當(dāng)P、E、O在一條直線時(shí)，PE長最大，∴PE長的最大值是R+

(2 3 )2+(2 3 )2

2

=3+

6

，∴③√；
∵當(dāng)過點(diǎn)E的平面與OE垂直時(shí)，截面面積最小，r=

R2-|OE|2

=

3

，S=π×3=3π，∴④×；
 故答案是①②③

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間幾何體的體積、面積計(jì)算及接體問題，找準(zhǔn)量化關(guān)系是關(guān)鍵．