Question

11．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，上、下頂點分別是B₁，B₂，點C是B₁F₂的中點，若$\overrightarrow{{B}_{1}{F}_{1}}$•$\overrightarrow{{B}_{1}{F}_{2}}$=2，且CF₁⊥B₁F₂，則橢圓的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．

Answer 1

分析 由已知可得F₁，F(xiàn)₂，B₁，B₂四點的坐標(biāo)，利用中點坐標(biāo)公式可得C．由$\overrightarrow{{B}_{1}{F}_{1}}$•$\overrightarrow{{B}_{1}{F}_{2}}$=2，且CF₁⊥B₁F₂，利用數(shù)量積運算性質(zhì)即可得出．

解答 解：F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），B₁（0，b），B₂（0，-b），C$（\frac{c}{2}，\frac{2}）$．
$\overrightarrow{{B}_{1}{F}_{1}}$=（-c，-b），$\overrightarrow{{B}_{1}{F}_{2}}$=（c，-b），$\overrightarrow{C{F}_{1}}$=$（-\frac{3}{2}c，-\frac{2}）$，
∵$\overrightarrow{{B}_{1}{F}_{1}}$•$\overrightarrow{{B}_{1}{F}_{2}}$=2，且CF₁⊥B₁F₂，
∴-c²+b²=2，$\overrightarrow{C{F}_{1}}$$•\overrightarrow{{B}_{1}{F}_{2}}$=$-\frac{3}{2}{c}^{2}$+$\frac{1}{2}^{2}$=0，又a²=b²+c²，
聯(lián)立解得：a=2，b²=3，c=1．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
故答案為：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、數(shù)量積運算性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、中點坐標(biāo)公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．