Question

已知f（x）為R上的偶函數(shù)，對任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）且當(dāng)x₁，x₂∈[0，3]，x₁≠x₂時，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立，給出四個命題：
①f（3）=0； ②直線x=-6是函數(shù)y=f（x）的圖象的一條對稱軸；
③函數(shù)y=f（x）在[-9，-6]上為增函數(shù)；   ④函數(shù)y=f（x）在[-9，9]上有四個零點(diǎn)．
其中所有正確命題的序號為

①②④

．

Answer 1

分析：①令x=-3，代入f（x+6）=f（x）+f（3），根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，得到f（3）=0；
②將f（3）=0代入，得到f（-x-6）=f（x），確定x=-6是函數(shù)y=f（x）的圖象的一條對稱軸；
③根據(jù)偶函數(shù)f（x）在[0，3]上為增函數(shù)，且周期為6得到函數(shù)y=f（x）在[-9，-6]上為減函數(shù)；
④根據(jù)f（3）=0，周期為6，得到f（-9）=f（-3）=f（3）=f（9）=0，有四個零點(diǎn)．

解答：解：①令x=-3，則由f（x+6）=f（x）+f（3）得f（3）=f（-3）+f（3）=2f（3），故f（3）=0．①正確；
②由f（3）=0，f（x）為偶函數(shù)得：f（-6-x）=f（x），故直線x=-6是函數(shù)y=f（x）的圖象的一條對稱軸，②正確；
③因?yàn)楫?dāng)x₁，x₂∈[0，3]，x₁≠x₂時，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立，故f（x）在[0，3]上為增函數(shù)，又f（x）為偶函數(shù)，故在[-3，0]上為減函數(shù)，又周期為6．故在[-9，-6]上為減函數(shù)，③錯誤；
④函數(shù)f（x）周期為6，故f（-9）=f（-3）=f（3）=f（9）=0，故y=f（x）在[-9，9]上有四個零點(diǎn)，④正確．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評：本題考查了抽象函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，周期性，綜合性比較強(qiáng)，需熟練靈活掌握．