Question

19．已知A是常數(shù)，如果函數(shù)f（x）滿足以下條件：①在定義域D內(nèi)是單凋函數(shù)；②存在區(qū)間[m，n]⊆D，使得{y|y=f（x），m≤x≤n}=[An+3，Am+3]，則稱f（x）為“反A倍增三函數(shù)”．若f（x）=$\sqrt{16-x}$-x是“反A倍增三函數(shù)”，那么A的取值范圍是{A|A≠-1}．

Answer 1

分析 容易判斷f（x）在定義域（-∞，16]上單調(diào)遞減，可設(shè)[m，n]⊆（-∞，16]，從而可得出f（x）在[m，n]上的值域為$[\sqrt{16-n}-n，\sqrt{16-m}-m]=[An+3，Am+3]$，這樣即可得出m，n是方程$\sqrt{16-x}-x=Ax+3$的兩不等實根，并且m，n≤16．可將該方程整理成（1+A）²x²+（7+6A）x-7=0，從而A需滿足$\left\{\begin{array}{l}{A≠-1}\\{△=（7+6A）^{2}+28（1+A）^{2}＞0}\\{-\frac{7+6A}{2（1+A）^{2}}＜16}\\{（1+A）^{2}•16+（7+6A）•16-7≥0}\end{array}\right.$，這樣解該不等式組便可得出A的取值范圍．

解答 解：x增大時，-x減小，∴$\sqrt{16-x}-x$減小，即f（x）減�。�
∴f（x）在（-∞，16]上單調(diào)遞減；
設(shè)[m，n]⊆（-∞，16]，則f（x）在[m，n]上的值域為$[\sqrt{16-n}-n，\sqrt{16-m}-m]=[An+3，Am+3]$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{16-n}-n=An+3}\\{\sqrt{16-m}-m=Am+3}\end{array}\right.$；
∴m，n為方程$\sqrt{16-x}-x=Ax+3$的兩個不同實數(shù)根，且m，n≤16；
該方程整理得：（1+A）²x²+（7+6A）x-7=0，方程有兩個不同的不超過16的實根；
∴$\left\{\begin{array}{l}{A≠-1}&{①}\\{△=（7+6A）^{2}+28（1+A）^{2}＞0}&{②}\\{-\frac{7+6A}{2（1+A）^{2}}＜16}&{③}\\{（1+A）^{2}•1{6}^{2}+（7+6A）•16-7≥0}&{④}\end{array}\right.$；
不等式②顯然恒成立；
不等式③變成：32A²+70A+39＞0，且A≠-1⑤；
∵△=70²-4×32×39=-92＜0；
∴不等式⑤恒成立，即不等式③對任意A≠-1恒成立；
不等式④變成：256A²+608A+361≥0；
∵△=608²-4×256×361=0；
∴不等式④對任意A∈R恒成立；
∴綜上得，A≠-1；
∴A的取值范圍是{A|A≠-1}．
故答案為：{A|A≠-1}．

點(diǎn)評 考查根據(jù)單調(diào)性定義判斷一個函數(shù)單調(diào)性的方法，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)在閉區(qū)間上的值域的方法，理解“反A倍增3函數(shù)”的概念，構(gòu)造方程解決問題的方法，要熟悉二次函數(shù)的圖象，一元二次方程實根的情況和判別式的關(guān)系，以及一元二次不等式的解和判別式△的關(guān)系．