Question

7．已知動點P與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的兩個焦點F₁，F(xiàn)₂的距離之和為定值，且cos∠F₁PF₂的最小值為-$\frac{1}{9}$．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）若已知D（0，3），M，N在動點P的軌跡上，且$\overrightarrow{DM}$=$λ\overrightarrow{DN}$，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓定義可知，所求動點P的軌跡為以F₁，F(xiàn)₂為焦點的橢圓，再結(jié)合余弦定理和基本不等式，求出橢圓中的a，b的值即可得到軌跡方程；
（2）設(shè)N（s，t），M（x，y），利用$\overrightarrow{DM}$=$λ\overrightarrow{DN}$，求出坐標(biāo)之間的關(guān)系，根據(jù)M，N在動點P的軌跡C上，消去一個參數(shù)，即可求實數(shù)λ的取值范圍．

解答 解：（1）雙曲線$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的a=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{3}$，可得c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{5}$．
設(shè)|PF₁|+|PF₂|=2t（常數(shù)t＞0），2t＞2c=2$\sqrt{5}$，
∴a＞$\sqrt{5}$，P的軌跡為橢圓．
設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，
由余弦定理有cos∠F₁PF₂=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2mn}$
=$\frac{（m+n）^{2}-2mn-20}{2mn}$=$\frac{2{t}^{2}-10}{mn}$-1，
∵mn≤（ $\frac{m+n}{2}$）²=t²，
∴當(dāng)且僅當(dāng)m=n時，mn取得最大值t²．
此時cos∠F₁PF₂取得最小值$\frac{2{t}^{2}-10}{{t}^{2}}$-1，
由題意$\frac{2{t}^{2}-10}{{t}^{2}}$-1=-$\frac{1}{9}$，
解得t²=9，
故橢圓的長軸長為6，短軸長為4，
∴P點的軌跡方程為 $\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）設(shè)N（s，t），M（x，y），
∵$\overrightarrow{DM}$=$λ\overrightarrow{DN}$，
∴（x，y-3）=λ（s，t-3），
∴x=λs，y=3+λ（t-3），
∵M(jìn)，N在動點P的軌跡C上，
∴$\frac{{s}^{2}}{9}$+$\frac{{t}^{2}}{4}$=1，$\frac{（λs）^{2}}{9}$+$\frac{（λt+3-3λ）^{2}}{4}$=1，
消去s可得$\frac{（λt+3-3λ）^{2}-{λ}^{2}{t}^{2}}{4}$=1-λ²，
解得t=$\frac{13λ-5}{6λ}$，
∵|t|≤2，
∴|$\frac{13λ-5}{6λ}$|≤2，
解得$\frac{1}{5}$≤λ≤5．
∴實數(shù)λ的取值范圍為[$\frac{1}{5}$，5]．

點評 本題考查了圓錐曲線的軌跡問題，考查橢圓的定義與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查余弦定理與基本不等式求最值．本題是圓錐曲線與基本不等式知識的一個綜合題，知識覆蓋面較廣．