Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F(xiàn)₁（-1，0）為橢圓的左焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)為F₂，其短軸的一個端點(diǎn)和兩個焦點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形的三個頂點(diǎn)，點(diǎn)E（0，

1

2

）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）AB是橢圓C的一條過點(diǎn)F₁且斜率為1的弦，求△ABF₂的面積S；
（3）問是否存在直線l：kx+m，使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，且（

EM

+

EN

）•（

EM

-

EN

）=0．若存在，求k的取值范圍．若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的短軸的一個端點(diǎn)和兩個焦點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形的三個頂點(diǎn)，建立方程關(guān)系，求出a，b，即可得橢圓方程．
（2）設(shè)出AB的斜率，利用直線與橢圓聯(lián)立求出△ABF₂的面積S．
（3）假設(shè)存在直線使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用（

EM

+

EN

）•（

EM

-

EN

）=0，將直線與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系確定k的取值范圍．

解答：解：（1）由c=1，且a=2c得a=2，所以b²=3   …2分
所以橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．…3分
（2）可設(shè)AB的方程為y=x+1，…4分
代入橢圓C的方程

x2

4

+

y2

3

=1，消去x，化簡，得7y²-6y-9=0，
∴|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

12 2

7

…6分
∴S=

1

2

|y1-y2|×2c=

1

2

×

12 2

7

×2=

12 2

7

…7分
（3）由（

EM

+

EN

）•（

EM

-

EN

）=0可知以EM、EN為鄰邊的平行四邊形對角線相互垂直．…8分
①根據(jù)橢圓關(guān)y軸的對稱性，可知當(dāng)MN⊥y軸，即k=0時，顯然滿足題意．…9分
②當(dāng)k≠0時，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點(diǎn)為H，
由MN⊥EH，即k_MN•k_KH=-1，
由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，（③）
由韋達(dá)定理，得x1+x2=

-8km

3+4k2

，

x1+x2

2

=

-4km

3+4k2

，
所以

y1+y2

2

=k

x1+x2

2

+m=k?

-4km

3+4k2

+m=

3m

3+4k2

，
所以點(diǎn)H坐標(biāo)為(

-4km

3+4k2

，

3m

3+4k2

) …10分
又點(diǎn)E（0，

1

2

），所以kKH=

3m 3+4k2 + 1 2

-4km 3+4k2

=

2k2-3m+ 3 2

4km

，
結(jié)合k_MN•k_KH=-1，得k?

2k2-3m+ 3 2

4km

=-1，
化簡，得m=-2k2-

3

2

…11分
對于方程③，由△＞0，得m²＜3+4k² …12分
所以

m=-2k2- 3 2 m2＜3+4k2

，得16k⁴+8k²-3＜0，
∴k∈(-

1

2

，

1

2

)…且k≠013分
∴所以，綜上由①②得k∈(-

1

2

，

1

2

)…14分．

點(diǎn)評：本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，利用直線和橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系是解決直線與圓錐曲線問題中常用的方法，運(yùn)算量較大，綜合性較強(qiáng)．