Question

已知函數(shù)對(duì)任意都有，若的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，且，則

A．2

B．3

C．4

D．6

Answer 1

A

解析考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用．
分析：先由函數(shù)f（x-1）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)，得函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=0對(duì)稱(chēng)，即函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，故有f（-x）=f（x）．再把-2代入f（x+4）-f（x）=2f（2），可得函數(shù)周期為4；就把f（2011）轉(zhuǎn)化為f（3）=f（-1）=f（1）即可求解．
解：∵函數(shù)f（x-1）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)，
∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=0對(duì)稱(chēng)，即函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x）．
∵對(duì)任意x∈R，都有f（x+4）-f（x）=2f（2），
∴f（-2+4）=f（-2）+2f（2）
∴f（-2）+f（2）=0，
即2f（2）=0，
∴f（2）=0．
∴f（x+4）=f（x）+2f（2）=f（x），即函數(shù)周期為4．
∴f（2011）=f（4×502+3）=f（3）=f（-1）=f（1）=2．
故選A．