Question

9．已知拋物線E：y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線是圓C：（x-1）²+y²=4的切線．
（Ⅰ）求拋物線E的方程；
（Ⅱ）若過拋物線E的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，Q（-1，0），且BQ⊥BF，如圖所示．證明：|BF|-|AF|=-4．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得拋物線的準(zhǔn)線方程及圓心與半徑，則1+$\frac{p}{2}$=2，即可求得拋物線E的方程；
（Ⅱ）方法一：由BQ⊥BF，利用勾股定理求得x₂，將直線AB的方程代入拋物線方程利用韋達(dá)定理即可求得x₁，分別表示出|BF|，|AF|，即可求證|BF|-|AF|=-4；
方法二：直線AB的傾斜角為α，由拋物線的焦點(diǎn)弦公式分別表示出|BF|，|AF|，由BQ⊥BF，則丨BF丨=$\frac{2}{1+cosα}$=2cosα，即可求證|BF|-|AF|=-4．

解答 解：（Ⅰ）由拋物線E：y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線x=-$\frac{p}{2}$，
圓C：（x-1）²+y²=4，圓心為（1，0），半徑為2，
則1+$\frac{p}{2}$=2，則p=2，
∴拋物線E的方程為：y²=4x；
（Ⅱ）證明：方法一：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由BQ⊥BF，則丨BQ丨²+丨BF丨²=丨QF丨²，
即（x₂+1）²+（x₂-1）²+2y₂²=4，
由y₂²=4x₂，則x₂²+4x₂-1=0，由x₂＞0，則x₂=-2+$\sqrt{5}$，
由AB與x軸不垂直，設(shè)直線AB的方程y=k（x-1），
則$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
則x₁x₂=1，則x₁=2+$\sqrt{5}$，
∴|BF|-|AF|=（x₂+$\frac{p}{2}$）（x₁+$\frac{p}{2}$）=（-2+$\sqrt{5}$+1）-（2+$\sqrt{5}$+1）=-4，
方法二：設(shè)直線AB的傾斜角為α，
則丨AF丨=丨AF丨cosα+丨QF丨=丨AF丨cosα+2，
則丨AF丨=$\frac{2}{1-cosα}$，
同理可知：丨BF丨=$\frac{2}{1+cosα}$，由BQ⊥BF，則丨BF丨=$\frac{2}{1+cosα}$=2cosα，
即cosα=1-cos²α，
則|BF|-|AF|=$\frac{2}{1+cosα}$-$\frac{2}{1-cosα}$=$\frac{-4cosα}{1-co{s}^{2}α}$=-4，
∴|BF|-|AF|=-4．

點(diǎn)評 本題考查拋物線簡單幾何性質(zhì)，拋物線的焦點(diǎn)弦公式，直線與拋物線的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．