Question

16．在平面直角坐標系xOy中，圓O的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數），已知圓O與y軸的正半軸交于點A，與y軸的負半軸交于點B，點P為直線l：y=4上的動點．直線PA，PB與圓O的另一個交點分別為M，N．
（Ⅰ）寫出圓O的標準方程；
（Ⅱ）若△PAN與△MAN的面積相等，求直線PA的方程；
（Ⅲ）求證：直線MN經過定點．

Answer 1

分析 （I）由圓O的參數方程，利用平方關系cos²θ+sin²θ=1可得標準方程．
（II）如圖所示，A（0，2），B（0，-2），設P（t，4）．直線PA方程為：y=$\frac{2}{t}$x+2，（t≠0）．與圓的方程聯(lián)立化為：$（1+\frac{4}{{t}^{2}}）{x}^{2}$+$\frac{8}{t}$x=0，解得M$（\frac{-8t}{{t}^{2}+4}，\frac{2{t}^{2}-8}{{t}^{2}+4}）$．根據△PAN與△MAN的面積相等，可得PA=AM．利用中點坐標公式即可得出t．
（III）直線PB的方程為：y=$\frac{6}{t}$x-2．（t≠0）．由（II）同理可得：N$（\frac{24t}{{t}^{2}+36}，\frac{72-2{t}^{2}}{{t}^{2}+36}）$．k_MN=$\frac{12-4{t}^{2}}{8t}$．直線MN的方程為：y-$\frac{2{t}^{2}-8}{{t}^{2}+4}$=$\frac{12-{t}^{2}}{8t}$$（x+\frac{8t}{{t}^{2}+4}）$，令x=0，可得y=1．即可證明．

解答 （I）解：由圓O的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數），利用平方關系可得：x²+y²=4．
（II）解：如圖所示，A（0，2），B（0，-2），設P（t，4）．
直線PA方程為：y=$\frac{2}{t}$x+2，（t≠0）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{t}x+2}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化為：$（1+\frac{4}{{t}^{2}}）{x}^{2}$+$\frac{8}{t}$x=0，解得x_M=-$\frac{8t}{{t}^{2}+4}$，y_M=$\frac{2{t}^{2}-8}{{t}^{2}+4}$．可得M$（\frac{-8t}{{t}^{2}+4}，\frac{2{t}^{2}-8}{{t}^{2}+4}）$．
∵△PAN與△MAN的面積相等，∴PA=AM．
∴0=$\frac{t-\frac{8t}{{t}^{2}+4}}{2}$，解得t=±2．
∴直線PA的方程為：y=±x+2．
（III）證明：直線PB的方程為：y=$\frac{6}{t}$x-2．（t≠0）．
由（II）同理可得：N$（\frac{24t}{{t}^{2}+36}，\frac{72-2{t}^{2}}{{t}^{2}+36}）$．
k_MN=$\frac{\frac{72-2{t}^{2}}{{t}^{2}+36}-\frac{2{t}^{2}-8}{{t}^{2}+4}}{\frac{24t}{{t}^{2}+36}+\frac{8t}{{t}^{2}+4}}$=$\frac{12-4{t}^{2}}{8t}$．
直線MN的方程為：y-$\frac{2{t}^{2}-8}{{t}^{2}+4}$=$\frac{12-{t}^{2}}{8t}$$（x+\frac{8t}{{t}^{2}+4}）$，
令x=0，可得y=1．
∴直線MN經過定點（0，1）．

點評 本題考查了圓的標準方程及其性質、直線與圓相交問題、斜率計算公式、直線經過定點問題、中點坐標公式、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．