Question

8．定義在（0，+∞）上函數(shù)f（x）滿足：①當(dāng)x∈[1，3）時，f（x）=1-|x-2|；②f（3x）=3f（x）．設(shè)關(guān)于x的函數(shù)F（x）=f（x）-a的零點(diǎn)從小到大依次為x₁，x₂，…，x_n…．若a∈（1，3），則x₁+x₂+…+x_2n=6（3ⁿ-1）．

Answer 1

分析 根據(jù)f（3x）=3f（x）得出f（x）在（3ⁿ，3ⁿ⁺¹）上的對稱軸，根據(jù)對稱性求出零點(diǎn)之和．

解答 解：∵當(dāng)x∈[1，3）時，f（x）=1-|x-2|，
∴f（x）在（1，3）上的函數(shù)圖象關(guān)于直線x=2對稱，
∵f（3x）=3f（x），
∴f（x）在（3，9）上的圖象關(guān)于直線x=6對稱．
同理可得：f（x）在（3ⁿ，3ⁿ⁺¹）上的圖象關(guān)于直線x=2•3ⁿ對稱，
∵f（2）=1＜a，f（6）=3f（2）=3＞a，
∴F（x）在（0，3）上無零點(diǎn)，
∴x₁+x₂=2•2•3=4•3，x₃+x₄=2•2•3²=4•3²，…，x_2n-1+x_2n=4•3ⁿ，
∴x₁+x₂+…+x_2n=4×3+4×3²+…+4×3ⁿ=4×$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$=6（3ⁿ-1）．
故答案為：6（3ⁿ-1）．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)、區(qū)間轉(zhuǎn)換、對稱性、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識與基本技能，屬于難題．