Question

1．已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），滿足f′（x）＜f（x），且f（x+2）=f（x-2），f（4）=1，則不等式f（x）＜e^x的解集為（　�。�

• A． （0，+∞）
• B． （1，+∞）
• C． （4，+∞）
• D． （-2，+∞）

Answer 1

分析 可設(shè)函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，求出導(dǎo)數(shù)，判斷g（x）的單調(diào)性，由f（x+2）=f（x-2），f（4）=1，可得f（0），g（0），原不等式轉(zhuǎn)化為g（x）＜g（0），由單調(diào)性，即可得到所求解集．

解答 解：可設(shè)函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
由f′（x）＜f（x），
可得g′（x）＜0，即有g(shù)（x）在R上遞減，
f（x+2）=f（x-2），f（4）=1，
可得f（0）=f（4）=1，g（0）=$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$=1，
由f（x）＜e^x即為$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＜1，
可得g（x）＜g（0），
由g（x）在R上遞減，
可得x＞0．
則所求不等式的解集為（0，+∞）．
故選：A．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)性，考查單調(diào)性的運用：解不等式，正確構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵，考查運算能力，屬于中檔題．