Question

9．已知函數(shù)f（x）=x²+ax²+bx+a²（a，b∈R）在x=1處取得極值10．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式：
（Ⅱ）若對[-2，2]上任意兩個自變量x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c，求實數(shù)c的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用極值及極值點處的導數(shù)為0，求解參數(shù)a、b；
（Ⅱ） 對[-2，2]上任意兩個自變量x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max-f（x）_min|
∴c≥|≤|f（x）_max-f（x）_min|即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=x²+ax²+bx+a²（a，b∈R），
∴f′（x）=3x²+2ax+b．
∵函數(shù)f（x）在x=1處取得極值10，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=10}\\{f′（1）=0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+a+b=9}\\{3+2a+b=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=-11}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=3}\end{array}\right.$
當$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=3}\end{array}\right.$時，f′（x）=3x²-6x+3=3（x-1）²≥0，不符合題意，舍去．
當$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=-11}\end{array}\right.時$，f′（x）=3x²+8x-11=（x-1）（3x+11），符合題意．
∴f（x）=x³+4x²-11x+16．
（Ⅱ）∵f′（x）=3x²+8x-11=（x-1）（3x+11），
∴函數(shù)f（x）在[-2，1]上是減函數(shù)，在[1，2]上是增函數(shù)，
x=1處取得極小值10，且f（-2）=46，f（2）=18，
對[-2，2]上任意兩個自變量x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|46-10|=36．
∴c≥36，∴c的最小值為36．

點評 本題考查了函數(shù)的極值及恒成立問題，轉化思想是關鍵，屬于中檔題．