Question

18．已知函數(shù)f（x）=e^x．
（1）過(guò)點(diǎn)（-1，0）作f（x）=e^x的切線，求此切線的方程．
（2）若f（x）≥kx+b對(duì)任意x∈[0，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)k，b應(yīng)滿(mǎn)足的條件．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=e^x，f′（0）=1，利用點(diǎn)斜式可得切線的方程．
（2）設(shè)H（x）=f（x）-kx-b=e^x-kx-b，x∈[0，+∞），H′（x）=e^x-k，x∈[0，+∞）．對(duì)k分類(lèi)討論，利用函數(shù)H（x）的 單調(diào)性可得H（x）_min，進(jìn)而得出k與b的求值范圍．

解答 解：（1）f′（x）=e^x，f′（0）=1，
∴切線的方程為y=x+1．
（2）設(shè)H（x）=f（x）-kx-b=e^x-kx-b，x∈[0，+∞），
∴H′（x）=e^x-k，x∈[0，+∞）．
①當(dāng)k≤1時(shí)，顯然H′（x）≥0，則H（x）在x∈[0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴H（x）_min=H（0）=1-b≥0，∴b≤1，即$\left\{\begin{array}{l}{k≤1}\\{b≤1}\end{array}\right.$時(shí)符合題意．
②當(dāng)k＞1時(shí)，H（x）在x∈[0，ln k）上單調(diào)遞減，x∈[ln k，+∞）上單調(diào)遞增，
∴H（x）_min=H（ln k）=k-kln k-b≥0，∴b≤k（1-ln k）．
綜上所述：滿(mǎn)足題意的條件是$\left\{\begin{array}{l}{k≤1}\\{b≤1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{k＞1}\\{b≤k（1-lnk）}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值、解不等式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了分類(lèi)討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．