Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-

2

3

與x=1時(shí)都取得極值．
（1）求a、b的值；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象與x軸有3個(gè)交點(diǎn)，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的函數(shù)的解析式，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，使得導(dǎo)函數(shù)等于0，得到關(guān)于a，b的關(guān)系式，解方程組即可，寫(xiě)出函數(shù)的解析式．
（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，寫(xiě)出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)等于0的x的值，列表表示出在各個(gè)區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)和函數(shù)的情況，求出極值，令極大值大于零，極小值小于零，解此不等式組即可求得結(jié)果．

解答：解：（1）f（x）=x³+ax²+bx，f′（x）=3x²+2ax+b
由f′（ -

2

3

）=

12

9

-

4

3

a+b=0，f′（1）=3+2a+b=0
得a=-

1

2

，b=-2
經(jīng)檢驗(yàn)，a=-

1

2

，b=-2符合題意
（2）由（1）得函數(shù)解析式為f(x)=x3-

1

2

x2-2x+c
∴f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），
列表

x	（-∞，- 2 3 ）	- 2 3	（- 2 3 ，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

f(-

2

3

)=

22

27

+c，f(1)=-

3

2

+c，
要使函數(shù)f（x）的圖象與x軸有3個(gè)交點(diǎn)，
須滿足

f(- 2 3 )= 22 27 +c＞0 f(1)=- 3 2 +c＜0

解得-

22

27

＜c＜

3

2

，
因此c的取值范圍為：-

22

27

＜c＜

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，根據(jù)函數(shù)f（x）在x=-

2

3

與x=1時(shí)取得極值，且圖象與x軸有且只有3個(gè)交點(diǎn)，等價(jià)于極大值大于0且極小值小于0，是解題的關(guān)鍵，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬中檔題．