Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2sinx+cos（x-

π

2

），x∈R．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）若f（α）=1，f（β）=

3 2

2

，α，β∈（0，

π

2

），求tan（α+β）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,兩角和與差的正切函數(shù)

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先，化簡(jiǎn)函數(shù)解析式：f（x）=3sinx，然后，根據(jù)奇函數(shù)的定義驗(yàn)證即可；
（2）根據(jù)f（α）=1，f（β）=

3 2

2

，得到sinα=

1

3

，sinβ=

2

2

，然后，求解tanα=

sinα

cosα

=

2

4

，tanβ=

sinβ

cosβ

=1，最后，用兩角和的正切公式求解即可．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=2sinx+cos（x-

π

2

）
=2sinx+sinx
=3sinx，
∴f（x）=3sinx，
（1）∵f（-x）=3sin（-x）=-3sinx=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)，
（2）∵f（α）=1，f（β）=

3 2

2

，
∴sinα=

1

3

，sinβ=

2

2

，
∵α，β∈（0，

π

2

），
∴cosα=

1-sin2α

=

2 2

3

，
cosβ=

1-sin2β

=

2

2

，
∴tanα=

sinα

cosα

=

2

4

，
tanβ=

sinβ

cosβ

=1，
∴tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

2 4 +1

1- 2 4

=

9+4 2

7

．
∴tan（α+β）=

9+4 2

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角求值、兩角和與差的三角公式等知識(shí)，屬于中檔題．