Question

已知函數(shù)f（x）=mx+lnx，其中m為常數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）當(dāng)m=-1時(shí)，求f（x）的最大值；
（2）若f（x）在區(qū)間（0，e]上的最大值為-3，求m的值；
（3）當(dāng)m=-1時(shí)，g（x）=

lnx

x

+

1

2

，試證明函數(shù)y=|f（x）|的圖象恒在函數(shù)y=g（x）的圖象的上方．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）在定義域（0，+∞）內(nèi)對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出函數(shù)的最值；
（2）在定義域（0，+∞）內(nèi)對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，對(duì)m進(jìn)行分類討論并判斷其單調(diào)性，根據(jù)f（x）在區(qū)間（0，e]上的單調(diào)性求其最大值，并判斷其最大值是否為-3，若是就可求出相應(yīng)的最大值．
（3）m=-1時(shí)，f（x）=-x+lnx，由（1）得f（x）≤f（1）=-1，于是y=|f（x）|≥1，求出g（x）≤g（e）=

1

e

+

1

2

＜1，從而得出函數(shù)y=|f（x）|的圖象恒在y=g（x）的圖象的上方．

解答： 解：（1）易知f（x）定義域?yàn)椋?，+∞），
當(dāng)m=-1時(shí)，f（x）=-x+lnx，f′（x）=-1+

1

x

，令f′（x）=0，得x=1．
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)．
f（x）_max=f（1）=-1．
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的最大值為-1．
（2）∵f′（x）=m+

1

x

，x∈（0，e]，

1

x

∈[

1

e

，+∞）．
①若m≥-

1

e

，則f′（x）≥0，從而f（x）在（0，e]上增函數(shù)，
∴f（x）_max=f（e）=ae+1≥0，不合題意．
②若m＜-

1

e

，則由f′（x）＞0⇒m+

1

x

＞0，即0＜x＜-

1

m

由f′（x）＜0m+1=

1

x

＜0，即-

1

m

＜x≤e．
從而f（x）在（0，-

1

m

）上增函數(shù)，在（-

1

m

，+∞）為減函數(shù)
∴f（x）_max=f（-

1

m

）=-1+ln（-

1

m

），
令-1+ln（-

1

m

）=-3，則ln（-

1

m

）=-2
∴-

1

m

=e^-2，即a=-e²．∵-e²＜-

1

e

，
∴a=-e²為所求．
（3）m=-1時(shí)，f（x）=-x+lnx，
由（1）得f（x）≤f（1）=-1，于是y=|f（x）|≥1，
函數(shù)g（x）=

lnx

x

+

1

2

的定義域（0，+∞），求導(dǎo)得g′（x）=

1-lnx

x2

，
令g′（x）＞0，得：0＜x＜e，令g′（x）＜0，解得：x＞e，
∴g（x）在（0，e）遞增，在（e，+∞）遞減，
∴g（x）≤g（e）=

1

e

+

1

2

＜1，
∴函數(shù)y=|f（x）|的圖象恒在y=g（x）的圖象的上方．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，參數(shù)的取值，本題是一道綜合題．