Question

已知橢圓C₁：的離心率為e，且b，e，為等比數(shù)列，曲線y=8-x²恰好過橢圓的焦點(diǎn)．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設(shè)雙曲線C₂：的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)分別是橢圓C₁的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別是C₁和C₂上的點(diǎn)，問是否存在A，B滿足．請(qǐng)說明理由．若存在，請(qǐng)求出直線AB的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）先確定c的值，再利用b，e，為等比數(shù)列，結(jié)合a²=b²+c²，求出幾何量，即可得到橢圓C₁的方程；
（2）假設(shè)存在A，B滿足，則O，A，B三點(diǎn)共線且A，B不在y軸上，設(shè)出直線方程與橢圓、雙曲線聯(lián)立，利用共線得到k的方程，即可得到結(jié)論．
解答：解：（1）由y=8-x²=0可得x=
∴橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），即c=
∵b，e，為等比數(shù)列，
∴
∵a²=b²+c²
∴
∴橢圓C₁的方程為；
（2）假設(shè)存在A，B滿足，則O，A，B三點(diǎn)共線且A，B不在y軸上，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=kx
由（1）知，C₂的方程為
直線與橢圓方程聯(lián)立，可得（1+3k²）x²=12，即=
直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，可得（1-2k²）x²=8，即
∵，∴
∴
∴
∴
∴存在A，B滿足，此時(shí)直線AB的方程為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系，屬于中檔題．