在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別為棱AA1和BB1的中點(diǎn)，求異面直線(xiàn)CM與D1N所成角的正弦值．
分析：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，算出
CM
=（2，-2，1），
D1N
=（2，2，-1）．根據(jù)數(shù)量積公式與向量的夾角公式算出cos＜
CM
，
D1N
＞=-
1
9
，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系算出sin＜
CM
，
D1N
＞=
4
5
9
，結(jié)合異面直線(xiàn)所成角的定義即可得到異面直線(xiàn)CM與D1N所成角的正弦值．
解答：解：設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，以DA、DC、DD1為x、y、z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
可得A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），
A1（2，0，2），B1（2，2，2），D1（0，0，2），
∴M（2，0，1），N（2，2，1）
可得
CM
=（2，-2，1），
D1N
=（2，2，-1）．
∴
CM
•
D1N
=2×2+（-2）×2+1×（-1）=-1
cos＜
CM
，
D1N
＞=
CM
•
D1N
|CM|
•
|D1N|

=
-1
22+(-2)2+12
•
22+22+(-1)2
=-
1
9
，
結(jié)合＜
CM
，
D1N
＞∈[0，π]，
可得sin＜
CM
，
D1N
＞=
1-(-
1
9
)2
=
4
5
9
．
∵直線(xiàn)CM與D1N所成角為直角或銳角，
∴CM與D1N所成角的正弦值為
4
5
9
．
點(diǎn)評(píng)：本題給出正方體兩條棱的中點(diǎn)，求異面直線(xiàn)的所成角．著重考查了正方體的性質(zhì)、利用空間向量研究異面直線(xiàn)所成角的大小等知識(shí)，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

16、在正方體ABCD-A′B′C′D′中，過(guò)對(duì)角線(xiàn)BD′的一個(gè)平面交AA′于E，交CC′于F，則
①四邊形BFD′E一定是平行四邊形；
②四邊形BFD′E有可能是正方形；
③四邊形BFD′E在底面ABCD內(nèi)的投影一定是正方形；
④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D．
以上結(jié)論正確的為
①③④
．（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，E為D′C′的中點(diǎn)，則二面角E-AB-C的大小為
45°
45°
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，E，F(xiàn)分別是AB′，BC′的中點(diǎn)． 
（1）若M為BB′的中點(diǎn)，證明：平面EMF∥平面ABCD．
（2）求異面直線(xiàn)EF與AD′所成的角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖在正方體ABCD-A  1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，B1H⊥D1O，H為垂足，則B1H與平面AD1C的位置關(guān)系是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在正方體ABCD-A′B′C′D′中，過(guò)對(duì)角線(xiàn)BD′的一個(gè)平面交棱AA′于E，交棱CC′于F，則：
①四邊形BFD′E一定是平行四邊形；
②四邊形BFD′E有可能是正方形；
③四邊形BFD′E有可能是菱形；
④四邊形BFD′E有可能垂直于平面BB′D．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是
 
．

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