Question

6．若a，b∈（0，+∞）且a+b=3，求$\sqrt{1+a}$+$\sqrt{1+b}$的最大值．

Answer 1

分析 由基本不等式的變形知$（\frac{\sqrt{1+a}+\sqrt{1+b}}{2}）^{2}$≤$\frac{{\sqrt{1+a}}^{2}+{\sqrt{1+b}}^{2}}{2}$，從而求得．

解答 解：由基本不等式的變形知，
$（\frac{\sqrt{1+a}+\sqrt{1+b}}{2}）^{2}$≤$\frac{{\sqrt{1+a}}^{2}+{\sqrt{1+b}}^{2}}{2}$
=$\frac{2+a+b}{2}$=$\frac{5}{2}$，
（當(dāng)且僅當(dāng)$\sqrt{1+a}$=$\sqrt{1+b}$，即a=b=$\frac{3}{2}$時(shí)，等號(hào)成立），
故$\sqrt{1+a}$+$\sqrt{1+b}$的最大值為$\sqrt{\frac{5}{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的應(yīng)用，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化思想與綜合法的應(yīng)用．