Question

已知橢圓的上焦點(diǎn)為F，左、右頂點(diǎn)分別為B₁，B₂，下頂點(diǎn)為A，直線AB₂與直線B₁F交于點(diǎn)P，若，則橢圓的離心率為    ．

Answer 1

【答案】分析：求出直線AB₂的方程和直線B₁F的方程，聯(lián)立方程組求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，由，可知B₂為AP的中點(diǎn)，
由線段的中點(diǎn)公式建立關(guān)于a、c 的方程，從而求出離心率的值．
解答：解：由題意得 F（0，c），B₁（-b，0），B₂ （b，0），A（0，-a）．
直線AB₂的方程為  ，即 ax-by-ab=0  ①．   
直線B₁F的方程為  ，即 cx-by+cb=0  ②． 由①②得點(diǎn)P （，）．
∵，∴B₂為AP的中點(diǎn)，∴2b=0+，∴a+c=2（a-c），
a=3c，∴=．橢圓的離心率為 ，
故答案為：．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線的截距式方程，求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用．