Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²-x+2．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）對(duì)任意x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出其導(dǎo)函數(shù)，再讓其導(dǎo)函數(shù)大于0對(duì)應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間，小于0對(duì)應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間即可．（注意是在定義域內(nèi)找單調(diào)區(qū)間．）
（2）已知條件可以轉(zhuǎn)化為a≥lnx-

3

2

x-

1

2x

恒成立，對(duì)不等式右邊構(gòu)造函數(shù)，利用其導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)的最大值即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）f′（x）=lnx+1，（2分）
令f′（x）＜0得：0＜x＜

1

e

，∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，

1

e

）（4分）
令f'（x）＞0得：x＞

1

e

，∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是(

1

e

，+∞)（6分）
（2）g′（x）=3x²+2ax-1，由題意2xlnx≤3x²+2ax+1∵x＞0，
∴a≥lnx-

3

2

x-

1

2x

恒成立�、伲�9分）
設(shè)h（x）=lnx-

3

2

x-

1

2x

，則h′（x）=

1

x

-

3

2

+

1

2 x2

=-

(x-1)(3x+1)

2x2

令h′（x）=0得：x=1，x=-

1

3

（舍去）
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＞0；
當(dāng)x＞1時(shí)，h'（x）＜0
∴當(dāng)x=1時(shí)，h（x）有最大值-2（12分）
若①恒成立，則a≥-2，
即a的取值范圍是[-2，+∞）．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．這類題目是高考的�？碱}．