Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ex﹣ax（a為常數(shù)）的圖象與y軸交于點(diǎn)A，曲線y=f（x）在點(diǎn)A處的切線斜率為﹣1．
（1）求a的值及函數(shù)f（x）的極值；
（2）證明：當(dāng)x＞0時(shí)，x2＜ex；
（3）證明：對任意給定的正數(shù)c，總存在x0 ， 使得當(dāng)x∈（x0 ， +∞）時(shí)，恒有x2＜cex ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=ex﹣ax，得f′（x）=ex﹣a．

又f′（0）=1﹣a=﹣1，解得a=2，

∴f（x）=ex﹣2x，f′（x）=ex﹣2．

由f′（x）=0，得x=ln2，

當(dāng)x＜ln2時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞ln2時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；

∴當(dāng)x=ln2時(shí)，f（x）有極小值為f（ln2）=eln2﹣2ln2=2﹣ln4．f（x）無極大值

（2）證明：令g（x）=ex﹣x2，則g′（x）=ex﹣2x，

由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=eln2﹣2ln2=2﹣ln4＞0，即g′（x）＞0，

∴當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜ex

（3）首先證明當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，恒有 x3＜ex．

證明如下：

令h（x）= x3﹣ex，則h′（x）=x2﹣ex．

由（2）知，當(dāng)x＞0時(shí)，x2＜ex，

從而h′（x）＜0，h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，

所以h（x）＜h（0）=﹣1＜0，即 x3＜ex，

取x0= ，當(dāng)x＞x0時(shí)，有 x2＜ x3＜ex．

因此，對任意給定的正數(shù)c，總存在x0，當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，恒有x2＜cex

【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得a，再利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化可求得函數(shù)的極值；（2）構(gòu)造函數(shù)g（x）=ex﹣x2 ， 求出導(dǎo)數(shù)，利用（1）問結(jié)論可得到函數(shù)的符號(hào)，從而判斷g（x）的單調(diào)性，即可得出結(jié)論；（3）首先可將要證明的不等式變形為 x2＜ex ， 進(jìn)而發(fā)現(xiàn)當(dāng)x＞ 時(shí)， x2＜ x3 ， 因此問題轉(zhuǎn)化為證明當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，恒有 x3＜ex ．