Question

設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且Sn=

3

2

(an-1)（n∈N^*），數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=4n+3（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若將數(shù)列{a_n}與{b_n}的公共項(xiàng)按它們?cè)谠瓉頂?shù)列中的先后順序排成一個(gè)新數(shù)列{d_n}，證明數(shù)列{d_n}的通項(xiàng)公式為d_n=3²ⁿ⁺¹（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設(shè)知，a₁=3.an=Sn-Sn-1=

3

2

(an-1)-

3

2

(an-1-1)，所以

an

an-1

=3（n≥2）．由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）a₁、a₂不是數(shù)列{b_n}中的項(xiàng)．a(chǎn)₃=27=4×6+3，d₁=27是數(shù)列{b_n}中的第6項(xiàng)，設(shè)a_k=3^k是數(shù)列{b_n}中的第m項(xiàng)，則3^k=4m+3
（k、m∈N^*）．再證明a_k+1不是數(shù)列{b_n}中的項(xiàng)．a(chǎn)_k+2是數(shù)列{b_n}中的項(xiàng)．所以d₁=a₃，d₂=a₅，d₃=a₇，…，d_n=a_2n+1，由此求出數(shù)列{d_n}的通項(xiàng)公式．

解答：（Ⅰ）解：∵Sn=

3

2

(an-1)（n∈N^*），
∴a1=S1=

3

2

(a1-1)，
∴a₁=3．
當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=

3

2

(an-1)-

3

2

(an-1-1)，
∴a_n=3a_n-1，即

an

an-1

=3（n≥2）．
∴數(shù)列{a_n}是以3首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，
∴a_n=3•3^n-1=3ⁿ（n∈N^*）．（6分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知a₁、a₂顯然不是數(shù)列{b_n}中的項(xiàng)．
∵a₃=27=4×6+3，
∴d₁=27是數(shù)列{b_n}中的第6項(xiàng)，
設(shè)a_k=3^k是數(shù)列{b_n}中的第m項(xiàng)，則3^k=4m+3（k、m∈N^*）．
∵a_k+1=3^k+1=3×3^k=3（4m+3）=4（3m+2）+1，
∴a_k+1不是數(shù)列{b_n}中的項(xiàng)．
∵a_k+2=3^k+2=9×3^k=9（4m+3）=4（9m+6）+3，
∴a_k+2是數(shù)列{b_n}中的項(xiàng)．
∴d₁=a₃，d₂=a₅，d₃=a₇，…，d_n=a_2n+1，
∴數(shù)列{d_n}的通項(xiàng)公式是d_n=3²ⁿ⁺¹（n∈N^*）．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意公式的合理運(yùn)用．