Question

20．某大學(xué)志愿者協(xié)會(huì)中，數(shù)學(xué)學(xué)院志愿者有8人，其中含5名男生，3名女生；外語學(xué)院志愿者有4人，其中含1名男生，3名女生．現(xiàn)采用分層抽樣的方法（層內(nèi)采用簡單隨機(jī)抽樣）從兩個(gè)學(xué)院中共抽取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(dòng)．
（1）求從數(shù)學(xué)學(xué)院抽取的同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率；
（2）記ξ為抽取的3名同學(xué)中男同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由已知得理科組抽取2人，文科組抽取1人，從理科組抽取的同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的情況有：一男一女、兩女，由此能求出從數(shù)學(xué)學(xué)院抽取的同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率．
（2）由題意可知ξ的所有可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）兩小組的總?cè)藬?shù)之比為8：4=2：1，共抽取3人，所以理科組抽取2人，
文科組抽取1人，…（2分）
從理科組抽取的同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的情況有：一男一女、兩女，
所以所求的概率為：P=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{5}^{1}+{C}_{3}^{2}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{9}{14}$．…（4分）
（2）由題意可知ξ的所有可能取值為0，1，2，3，…（5分）
相應(yīng)的概率分別是
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{5}^{0}{C}_{3}^{2}}{{C}_{8}^{2}}•\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{4}^{1}}$=$\frac{9}{112}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{5}^{1}}{{C}_{8}^{2}}•\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{4}^{1}}+\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{8}^{2}}•\frac{1}{{C}_{4}^{1}}$=$\frac{48}{112}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{5}^{1}}{{C}_{8}^{2}}•\frac{1}{{C}_{4}^{1}}+\frac{{C}_{5}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{8}^{2}{C}_{4}^{1}}$=$\frac{45}{112}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{8}^{2}}•\frac{1}{{C}_{4}^{1}}$=$\frac{10}{112}$，…（9分）
所以ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{9}{112}$	$\frac{48}{112}$	$\frac{45}{112}$	$\frac{10}{112}$

…（10分）
Eξ=1×$\frac{48}{112}$+2×$\frac{45}{112}$+3×$\frac{10}{112}$=$\frac{3}{2}$．…（12分

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．