Question

8．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的增函數(shù)．
（1）a∈R，試比較f（a²）與f（a-1）的大小，并說明理由；
（2）若對任意的x∈R，不等式f（ax²）＜f（ax+1）恒成立．求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f（a²）＞f（a-1）；運(yùn)用作差法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可得到大小；
（2）由題意可得ax²-ax-1＜0恒成立，討論a=0，a＜0，且判別式小于0，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）f（a²）＞f（a-1）；
理由：因為${a^2}-（a-1）={（a-\frac{1}{2}）^2}+\frac{3}{4}＞0$，
所以a²＞a-1，
又函數(shù)f（x）是定義在R上的增函數(shù)，
可得f（a²）＞f（a-1）；
（2）由函數(shù)f（x）是定義在R上的增函數(shù)，
對任意的x∈R，不等式f（ax²）＜f（ax+1）恒成立，
即為ax²-ax-1＜0恒成立，
當(dāng)a=0時，-1＜0恒成立，符合；
a≠0時，由$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\△={a^2}+4a＜0\end{array}\right.⇒-4＜a＜0$恒成立．
綜上，實數(shù)a的取值范圍為（-4，0]．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用：比較大小和解不等式，考查不等式恒成立問題的解法，屬于中檔題．