Question

6．已知點P是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）右支上一點，F₁、F₂分別為雙曲線的左、右焦點．
（1）證明：△PF₁F₂的內切圓的圓心的橫坐標為a；
（2）若點M（a，2），且$\frac{\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{M{F}_{1}}}{|\overrightarrow{P{F}_{1}}|}$=$\frac{\overrightarrow{{{F}_{2}F}_{1}}•\overrightarrow{M{F}_{1}}}{|\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}|}$，求△PMF₁、與△PMF₂的面積之差．

Answer 1

分析 （1）根據題意，利用切線長定理，再利用雙曲線的定義，把|PF₁|-|PF₂|=2a，轉化為|HF₁|-|HF₂|=2a，從而求得點H的橫坐標；
（2）由已知向量等式可得M為△PF₁F₂的內心，由三角形的面積公式作差，結合雙曲線定義可得答案．

解答 （1）證明：如圖所示：F₁（-a，0）、F₂（a，0），
設內切圓與x軸的切點是點H，
PF₁、PF₂與內切圓的切點分別為A、B，
由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
由圓的切線長定理知，|PA|=|PB|，故|AF₁|-|BF₂ |=2a，
即|HF₁|-|HF₂|=2a，
設內切圓的圓心橫坐標為x，則點H的橫坐標為x，
故 （x+c）-（c-x）=2a，
∴x=a；
（2）解：由$\frac{\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{M{F}_{1}}}{|\overrightarrow{P{F}_{1}}|}$=$\frac{\overrightarrow{{{F}_{2}F}_{1}}•\overrightarrow{M{F}_{1}}}{|\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}|}$，得$\frac{|\overrightarrow{P{F}_{1}}||\overrightarrow{M{F}_{1}}|cos∠M{F}_{1}P}{|\overrightarrow{P{F}_{1}}|}$=$\frac{|\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}||\overrightarrow{M{F}_{1}}|cos∠M{F}_{1}{F}_{2}}{|\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}|}$，
∴cos∠MF₁P=cos∠MF₁F₂，可得M在∠PF₁F₂的角分線上，
又M（a，2），結合（1）可知，M為△PF₁F₂的內心，
∴${S}_{△PM{F}_{1}}-{S}_{△PM{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}|P{F}_{1}|×2-\frac{1}{2}|P{F}_{2}|×2=|P{F}_{1}|-|P{F}_{2}|$=2a．

點評 本題考查直線與圓錐曲線位置關系的應用，考查了雙曲線的簡單性質，考查數學轉化思想方法，是中檔題．