Question

2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥ABCD，底面是菱形，設(shè)DA=DP=4，E，F(xiàn)分別為AB，PC的中點(diǎn)．
（1）求空間四面體BCFE的體積V的最大值；
（2）試判定直線AP與直線EF所成角，以及直線AC與平面PDB所成角的大小是否為定值．若是定值，請(qǐng)確定其大��；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）EB⊥BC時(shí)，空間四面體BCFE的體積V取得最大值；
（2）取PD的中點(diǎn)O，連接OE，OA，則OF平行且等于AE，∠PAO是直線AP與直線EF所成角，大小等于45°-arctan$\frac{1}{2}$；證明AC⊥平面PDB，可得直線AC與平面PDB所成角的大�。�

解答 解：（1）由題意，EB⊥BC時(shí)，空間四面體BCFE的體積V取得最大值．
此時(shí)，V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×2×2$=$\frac{8}{3}$；
（2）取PD的中點(diǎn)O，連接OE，OA，則OF平行且等于AE，
∴AEFO是平行四邊形，
∴EF∥AO，
∴∠PAO是直線AP與直線EF所成角，大小等于45°-arctan$\frac{1}{2}$；
∵ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵PD⊥ABCD，
∴PD⊥AC，
∵PD∩BD=D，
∴AC⊥平面PDB，
∴直線AC與平面PDB所成角的大小是90°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間幾何體體積的計(jì)算，考查空間角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確找出空間角是關(guān)鍵．