Question

3．某中學(xué)高一年級(jí)進(jìn)行學(xué)生性別與科目偏向問(wèn)卷調(diào)查，共收回56份問(wèn)卷，下面是2×2列聯(lián)表：

	男生	女生	合計(jì)
偏理科	28	16	44
偏文科	4	8	12
合計(jì)	32	24	56

（1）有多大把握認(rèn)為科目偏向與性別有關(guān)？
（2）如果按分層抽樣的方法選取14人，又在這14人中選取2人進(jìn)行面對(duì)面交流，求選中的2人恰好都偏文科的概率；
（3）在（2）的條件下，求一次選出的2人中男生人數(shù)X的分布列及期望．
附：K²=$\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{a+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$

P（K2＞k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （1）求出K²=3.535＞2.706，從而有90%的把握認(rèn)為科目偏向與性別有關(guān)．
（2）按分層抽樣的方法選出14人，偏理科的人數(shù)為$\frac{14}{56}×44=11$，偏文科的人數(shù)為$\frac{14}{56}×12=3$．由此利用組合知識(shí)可以求出概率．
（3）按分層抽樣的方法選出14人，男生人數(shù)為$\frac{14}{56}×32=8$，女生人數(shù)為$\frac{14}{56}×24=6$．設(shè)一次選出2人中選到男生人數(shù)為X，則X所有可能的取值為0，1，2．求出相應(yīng)的概率，即可求一次選出的2人中男生人數(shù)X的分布列及期望．

解答 解：（1）${k^2}=\frac{{56{{（{28×8-16×4}）}^2}}}{44×12×32×24}=3，535＞2.706$．所以有90%的把握認(rèn)為科目偏向與性別有關(guān)．
（2）按分層抽樣的方法選出14人，偏理科的人數(shù)為$\frac{14}{56}×44=11$，偏文科的人數(shù)為$\frac{14}{56}×12=3$．
記“在這14人中選2人偏文科”為事件A．則$P（A）=\frac{C_3^2}{{C_{14}^2}}=\frac{3}{91}$．
（3）按分層抽樣的方法選出14人，男生人數(shù)為$\frac{14}{56}×32=8$，女生人數(shù)為$\frac{14}{56}×24=6$．
設(shè)一次選出2人中選到男生人數(shù)為X，則X所有可能的取值為0，1，2.$P（{X=0}）=\frac{C_8^0C_6^2}{{C_{14}^2}}=\frac{15}{91}，P（{X=1}）=\frac{C_8^1C_6^1}{{C_{14}^2}}=\frac{48}{91}，P（{X=2}）=\frac{C_8^2C_6^0}{{C_{14}^2}}=\frac{28}{91}$，
X的分布列為

X	0	1	2
P	$\frac{15}{91}$	$\frac{48}{91}$	$\frac{28}{91}$

X的數(shù)學(xué)期望$E（X）=0×\frac{15}{91}+1×\frac{48}{91}+2×\frac{28}{91}=\frac{104}{91}≈1.14$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查獨(dú)立檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查概率的求法，考查分布列及期望，正確求出概率是關(guān)鍵．