Question

【題目】已知函數(shù) ，其中a為常數(shù)．
（1）若a=1，判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）若函數(shù) 在其定義域上是奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)a=1時(shí)， ，其定義域?yàn)镽．

此時(shí)對(duì)任意的x∈R，都有

所以函數(shù)f（x）在其定義域上為奇函數(shù)

（2）解：若函數(shù) 在其定義域上是奇函數(shù)，則對(duì)定義域內(nèi)的任意x，

有：

整理得：a2e2x﹣1=e2x﹣a2，即：e2x（a2﹣1）=1﹣a2對(duì)定義域內(nèi)的任意x都成立．

所以a2=1

當(dāng)a=1時(shí)， ，定義域?yàn)镽；

當(dāng)a=﹣1時(shí)， ，定義域?yàn)椋ī仭蓿?）∪（0，+∞）．

所以實(shí)數(shù)a的值為a=1或a=﹣1．

【解析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷．（2）根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個(gè)為偶就為偶，兩個(gè)為奇才為奇才能正確解答此題．