Question

已知一個(gè)橢圓中心在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在x軸上，短軸的一個(gè)頂點(diǎn)B與兩個(gè)焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂組成的三角形的周長(zhǎng)為4+2

3

，且∠F₁BF₂=

2π

3

．
（1）求這個(gè)橢圓的方程；
（2）斜率為1的直線(xiàn)交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，求|AB|的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專(zhuān)題：計(jì)算題,直線(xiàn)與圓,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，焦距為2c，由題意得，c=

3

2

a，則△F₁BF₂的周長(zhǎng)為2a+2c=2a+

3

a=4+2

3

，解出a，c，b，即可得到橢圓方程；
（2）設(shè)直線(xiàn)l：y=x+t，代入橢圓方程，消去y，得，

5

4

x²+2tx+t²-1=0，運(yùn)用判別式大于0，韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，化簡(jiǎn)整理，即可得到最大值．

解答： 解：（1）設(shè)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，焦距為2c，
則在三角形F₂OB中，由∠F₂BO=

π

3

，
得c=

3

2

a，則△F₁BF₂的周長(zhǎng)為2a+2c=2a+

3

a=4+2

3

，
則a=2，c=

3

，b=1，
故所求的橢圓方程為：

x2

4

+y²=1；
（2）設(shè)直線(xiàn)l：y=x+t，代入橢圓方程，消去y，得，

5

4

x²+2tx+t²-1=0，
由題意得，△=（2t）²-5（t²-1）＞0，即t²＜5，x₁+x₂=-

8t

5

，x₁x₂=

4(t2-1)

5

，
弦長(zhǎng)|AB|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

64t2 25 - 16(t2-1) 5

=4

2

×

5-t2

5

≤

4 10

5

．
當(dāng)且僅當(dāng)t=0時(shí)，取最大值為

4 10

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程和定義，考查聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓方程，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，注意判別式大于0，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．