Question

如果函數(shù)y=log_a（8+2ax-x²）（其中a＞0，且a≠1）在[-1，3]上是增函數(shù)，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意，8+2ax-x²＞0，求出解集是a-

8+a2

＜x＜a+

8+a2

；
由此列出不等式組

a- 8+a2 ＜-1 a+ 8+a2 ＞3

，求出a的取值范圍；
再討論函數(shù)y的單調(diào)性，從而確定a的取值范圍．

解答： 解：∵函數(shù)y=log_a（8+2ax-x²）（其中a＞0，且a≠1），
∴8+2ax-x²＞0，即x²-2ax-8＜0，
解得a-

8+a2

＜x＜a+

8+a2

；
又∵函數(shù)y在[-1，3]上是增函數(shù)，
∴

a- 8+a2 ＜-1 a+ 8+a2 ＞3

，
解得

1

6

＜a＜

7

2

；
∴當(dāng)0＜a＜1時(shí)，y在[a，+∞）上是增函數(shù)，它不滿足[-1，3]上是增函數(shù)，應(yīng)舍去；
當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)y在（-∞，a]上是增函數(shù)，要滿足[-1，3]上是增函數(shù)，
應(yīng)有a≥3，即3≤a＜

7

2

；
綜上，a的取值范圍是[3，

7

2

）．
故答案為：[3，

7

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問(wèn)題，也考查了含有字母系數(shù)的不等式的解法與應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題．