Question

已知f（x）是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）=x²+x-1．
（1）求f（0）的值；
（2）求x∈（-∞，0）時(shí)，f（x）的解析式；
（3）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）奇函數(shù)的性質(zhì)可得f（-0）=-f（0），可求得f（0）；
（2）設(shè)x＜0則-x＞0，利用已知表達(dá)式可求得f（-x），根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)可得f（x）=-f（-x），由此可求得f（x）；
（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和對應(yīng)的x的范圍，可分段求出單調(diào)增區(qū)間；

解答： 解：（1）因?yàn)閒（x）是R上的奇函數(shù)，
所以f（-0）=-f（0），得f（0）=0；
（2）設(shè)x＜0，則-x＞0，
因?yàn)楫?dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）=x²+x-1，
所以f（-x）=（-x）²+（-x）-1=x²-x-1
因?yàn)閥=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
所以f（-x）=-f（x）=-x²+x+1，
即f（x）=-x²+x+1，x＜0；
（3）當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f（x）=-x²+x+1的對稱軸是x=

1

2

，在（-∞，

1

2

）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）=x²+x-1的對稱軸是x=-

1

2

，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，

1

2

），（0，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查利用奇偶性求分段函數(shù)的解析式，考查二次函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論思想．