Question

11．在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2$\sqrt{3}$，M為AB的中點(diǎn)．
（1）求證：AC⊥SB；
（2）求二面角S-CM-A的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AC的中點(diǎn)O，連結(jié)OS、OB，由已知推導(dǎo)出AC⊥OS，AC⊥OB，由此能證明AC⊥SB．
（2）平面SAC⊥平面ABC，SO⊥AC，從而SO⊥面ABC，過(guò)O作OD⊥CM于D，連結(jié)SD，則∠SDO是二面角N-CM-B的平面角，由此能求出二面角S-CM-A的平面角的余弦值．

解答 證明：（1）取AC的中點(diǎn)O，連結(jié)OS、OB
∵SA=SC，∴AC⊥OS，
∵BA=BC，∴AC⊥OB，
又OS，OB?平面OSB，OS∩OB=O，
∴AC⊥平面OSB，
∴AC⊥SB．
解：（2）∵平面SAC⊥平面ABC，SO⊥AC，
∴由面面垂直性質(zhì)定理，得SO⊥面ABC，
過(guò)O作OD⊥CM于D，連結(jié)SD，
由三垂線定理，得SD⊥CM，
∴∠SDO是二面角N-CM-B的平面角，
又SO=2$\sqrt{2}$，OD=1，∴SD=$\sqrt{8+1}$=3，
∴cos∠SDO=$\frac{OD}{SD}=\frac{1}{3}$，
∴二面角S-CM-A的平面角的余弦值為$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線的證明，考查二面角的平面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．