Question

16．如圖，在三棱錐V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB為等邊三角形，AC⊥BC且AC=BC=$\sqrt{2}$，O，M分別為AB，VA的中點．
（1）求證：VB∥平面MOC．
（2）求證：平面MOC⊥平面VAB．
（3）求二面角C-VB-A的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由三角形中位線定理得OM∥VB，由此能證明VB∥平面MOC．
（2）推導(dǎo)出OC⊥AB，從而OC⊥平面VAB，由此能證明平面MOC⊥平面VAB．
（3）由OC⊥面VAB，過O作OE⊥VB交VB于點E，連結(jié)CE，則∠OEB即為二面角C-VB-A的平面角．由此能求出二面角C-VB-A的平面角的余弦值．

解答 證明：（1）因為O，M分別為AB，VA的中點，
所以O(shè)M∥VB．
又因為OM?平面MOC，VB?平面MOC，
所以VB∥平面MOC．
（2）因為AC=BC，O為AB中點，
所以O(shè)C⊥AB．
因為平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC=AB，
OC?平面ABC，所以O(shè)C⊥平面VAB．
因為OC?平面MOC，
所以平面MOC⊥平面VAB．
解：（3）由（2）知OC⊥面VAB，過O作OE⊥VB交VB于點E，連結(jié)CE，
因為OC⊥面VAB，所以O(shè)C⊥VB，
則∠OEB即為二面角C-VB-A的平面角．
在直角三角形COE中，
OE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，OC=1，CE=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
所以cos∠OEB=$\frac{OE}{CE}=\frac{\sqrt{21}}{7}$．
故二面角C-VB-A的平面角的余弦值為$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

點評 本題考查線面平行、面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．