Question

已知函數(shù)f（x）=x²+（lga+2）x+lgb滿足f（-1）=-2，且對于任意x∈R恒有f（x）≥2x成立．
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）設(shè)g（x）=f（x）-2x，若存在實數(shù)t，當(dāng)x∈[1，m]時，g（x+t）≤x恒成立，求實數(shù)m的最大值．

Answer 1

解：（1）由f（-1）=-2知，lgb-lga+1=0①，∴a=10b②．
又對于任意x∈R，f（x）≥2x恒成立，即f（x）-2x≥0恒成立，則x²+x•lga+lgb≥0恒成立，故△=lg²a-4lgb≤0，
將①式代入上式得：lg²b-2lgb+1≤0，即（lgb-1）²≤0，故lgb=1，即b=10，代入②得，a=100；
故a=100，b=10．
（2）g（x）=f（x）-2x=x²+2x+1=（x+1）²，
∵存在實數(shù)t，當(dāng)x∈[1，m]時，g（x+t）≤x恒成立，即（x+t+1）²≤x恒成立．
∴?t∈R，，即，x∈[1，m]恒成立．
設(shè)≥1，則-u-u²≤t+1≤u-u²，
∴，
∵當(dāng)≥u≥1時，單調(diào)遞減，故u=1時取得最大值-2；
單調(diào)遞減，故時取得最小值．
∴．
∴，即，化為，
又m≥1，解得，解得1＜m≤4，
∴實數(shù)m的最大值是4．
分析：（1）利用對數(shù)的運(yùn)算法則及對于任意x∈R二次函數(shù)f（x）-2x≥0恒成立問題與判別式△的關(guān)系即可解出；
（2）把存在實數(shù)t，當(dāng)x∈[1，m]時，g（x+t）≤x恒成立，等價轉(zhuǎn)化為，x∈[1，m]恒成立，進(jìn)而等價轉(zhuǎn)化，x∈[1，m]，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可解出．
點評：熟練掌握對數(shù)的運(yùn)算法則、二次函數(shù)恒成立問題與判別式△的關(guān)系、把恒成立問題等價轉(zhuǎn)化、二次函數(shù)的單調(diào)性等是解題的關(guān)鍵．