Question

已知向量，，且．

(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；

(2)設(shè)曲線與直線相交于不同的兩點(diǎn)，又點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

(1).(2)當(dāng)時(shí)，m的取值范圍是，當(dāng)時(shí)，m的取值范圍是.

【解析】

試題分析：(1)由題意得，，

，計(jì)算并化簡(jiǎn)得.

(2)由得，

由于直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴，即.

討論當(dāng)時(shí)，得所求的的取值范圍是；

當(dāng)時(shí)，得m的取值范圍是.

(1)由題意得，，

∵，∴，

化簡(jiǎn)得，∴點(diǎn)的軌跡的方程為. 4分

(2)由得，

由于直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴，即.① 6分

(i)當(dāng)時(shí)，設(shè)弦的中點(diǎn)為，分別為點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則，

從而，， 8分

又，∴.

則，即， ②

將②代入①得，解得，由②得，解得，

故所求的的取值范圍是. 10分

(ii)當(dāng)時(shí)，，∴，，

解得. 12分

綜上，當(dāng)時(shí)，m的取值范圍是，

當(dāng)時(shí)，m的取值范圍是. 13分

考點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積，橢圓方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.