Question

8．某市政府欲在如圖所示的矩形ABCD的非農業(yè)用地中規(guī)劃出一個休閑娛樂公園（如圖中陰影部分），形狀為直角梯形OPRE（線段EO和RP為兩條底邊），已知AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km，其中曲線AF是以A為頂點、AD為對稱軸的拋物線的一部分．
（1）以A為原點，AB所在直線為x軸建立直角坐標系，求曲線AF所在拋物線的方程；
（2）求該公園的最大面積．

Answer 1

分析 （1）設AF所在拋物線的方程為y=ax²（a＞0），代入點（2，4），解得a，即可得到所求AF所在拋物線的方程；
（2）求得直線CE的方程，設P（x，x²）（0＜x＜2），運用梯形的面積公式，可得公園的面積，求出導數(shù)，求得單調區(qū)間和極值，也為最值，可得公園面積的最大值．

解答 解：（1）設AF所在拋物線的方程為y=ax²（a＞0），
∵拋物線過F（2，4），∴4=a•2²，得a=1，
∴AF所在拋物線的方程為y=x²；
（2）又 E（0，4），C（2，6），則EC所在直線的方程為y=x+4，
設P（x，x²）（0＜x＜2），
則PO=x，OE=4-x²，PR=4+x-x²，
∴公園的面積$S=\frac{1}{2}（{4-{x^2}+4+x-{x^2}}）•x=-{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}+4x$（0＜x＜2），
∴S'=-3x²+x+4，令S'=0，得$x=\frac{4}{3}$或x=-1（舍去負值），
當x變化時，S'和的變化情況如下表：

x	$（{0，\frac{4}{3}}）$	$\frac{4}{3}$	$（{\frac{4}{3}，2}）$
S'	+	0	-
S	↑	極大值$\frac{104}{27}$	↓

當$x=\frac{4}{3}$時，S取得最大值$\frac{104}{27}$．故該公園的最大面積為$\frac{104}{27}$．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求最值，同時考查拋物線的方程的運用，考查運算能力，屬于中檔題．