Question

【題目】已知二次函數(shù)在區(qū)間上有最大值4，最小值為0.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)，若對任意恒成立，試求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）f（x）＝x2﹣2x+1；（2）[33，+∞）

【解析】

（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)討論對稱軸，即可求解最值，可得解析式．

（2）求解g（x）的解析式，令，則，問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)u∈[，8]時(shí)，恒成立，分離參數(shù)即可求解．

（1）f（x）＝mx2﹣2mx+n+1（m＞0）

其對稱軸x＝1，x∈[0，3]上，

∴當(dāng)x＝1時(shí)，f（x）取得最小值為﹣m+n+1＝0．

當(dāng)x＝3時(shí)，f（x）取得最大值為3m+n+1＝4．

由①②解得：m＝1，n＝0

故得函數(shù)f（x）的解析式為：f（x）＝x2﹣2x+1

（2）由g（x），令，則，

問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)u∈[，8]時(shí)，恒成立，

即u2﹣4u+1﹣ku2≤0恒成立，

∴k．

設(shè)，則t∈[，8]

可得：1﹣4t+t2＝（t﹣2）2﹣3≤k．

當(dāng)t＝8時(shí)，（1﹣4t+t2）max＝33

故得k的取值范圍是[33，+∞）