Question

9．已知等邊△ABC的邊長為8$\sqrt{3}$，且三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線y²=4mx（m＞0）上，拋物線的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)M，自M引直線交拋物線于P、Q兩個(gè)不同的點(diǎn)，設(shè)$\overrightarrow{MP}$=λ$\overrightarrow{MQ}$
（1）求拋物線的方程；
（2）若λ∈[$\frac{1}{2}$，1），求|PQ|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意，點(diǎn)（12，4$\sqrt{3}$）在拋物線y²=4mx（m＞0）上，求出m，即可求拋物線的方程；
（2）利用$\overrightarrow{MP}$=λ$\overrightarrow{MQ}$，M（-1，0），求出P，Q的坐標(biāo)，表示出|PQ|，利用λ∈[$\frac{1}{2}$，1），求|PQ|的取值范圍．

解答 解：（1）由題意，點(diǎn)（12，4$\sqrt{3}$）在拋物線y²=4mx（m＞0）上，
∴48=48m，
∴m=1，
∴拋物線的方程為y²=4x；
（2）設(shè)P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），
∵$\overrightarrow{MP}$=λ$\overrightarrow{MQ}$，M（-1，0），
∴（x₁+1，y₁）=λ（x₂+1，y₂），
∴y₁=λy₂，x₁+1=λ（x₂+1），
∴x₁=λ²x₂，
∴λ²x₂+1=λ（x₂+1），
∴x₂=$\frac{1}{λ}$，x₁=λ，
∴取P（λ，2$\sqrt{λ}$），Q（$\frac{1}{λ}$，$\frac{2}{\sqrt{λ}}$），
∴|PQ|²=（λ-$\frac{1}{λ}$）²+（2$\sqrt{λ}$-$\frac{2}{\sqrt{λ}}$）²=λ²+$\frac{1}{{λ}^{2}}$+4（λ+$\frac{1}{λ}$）-10，
設(shè)λ+$\frac{1}{λ}$=t，t∈（2，$\frac{5}{2}$]，∴|PQ|²=t²+4t-12=（t+2）²-16∈（0，$\frac{17}{4}$]
∴|PQ|∈（0，$\frac{\sqrt{17}}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，確定P，Q的坐標(biāo)是關(guān)鍵．