Question

【題目】已知函數(shù)，其中，.

（1）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)，且時，

（i）若有兩個極值點(diǎn)，，求證：；

（ii）若對任意的，都有成立，求正實(shí)數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）（i）證明見解析，（ii）4.

【解析】

（1）求導(dǎo)，令，得，，然后分，，，三種情況討論求解.

（2）（i）求導(dǎo)，由，是的兩實(shí)根，由韋達(dá)定理得，，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明即可；（ii）當(dāng)時，不等式恒成立；當(dāng)時，將不等式轉(zhuǎn)化為求解.

（1），

.

令，得，.

①當(dāng)，即時，，

在上遞增；

②當(dāng)，即時，

在，上遞增，在遞減；

③當(dāng)，即時，在，上遞增，在上遞減.

（2）（i）證明：，.

由已知，是方程，即的兩實(shí)根，

故，又，所以.

由韋達(dá)定理得：，，

因?yàn)?/span>，

所以，.

.

設(shè)，

則

所以遞增，

故，即.

（ii）當(dāng)時，不等式恒成立；

當(dāng)時，不等式化為.

設(shè)，

因?yàn)?/span>，

所以在上單調(diào)遞減.

因?yàn)?/span>，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

故.

又，所以，

此時.