Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，對(duì)于n=1，2，3，…，有an+1=

3an+5  an為奇數(shù) an 2k    an為偶數(shù)．其中k為使an+1為奇數(shù)的正整數(shù)

，當(dāng)a₁=11時(shí)，a₁₀₀=

 

；若存在m∈N^*，當(dāng)n＞m且a_n為奇數(shù)時(shí)，a_n恒為常數(shù)p，則p的值為

 

．

Answer 1

分析：由題設(shè)分別求出a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆，a₇，a₈，a₉，仔細(xì)觀察能夠發(fā)現(xiàn){a_n}從第3項(xiàng)開始是周期為6的周期數(shù)列，故a₁₀₀=a_{3+（6×16+1）}=a₄；由若存在m∈N^*，當(dāng)n＞m且a_n為奇數(shù)時(shí)，a_n恒為常數(shù)p，知a_n=p，a_n+1=3p+5，an+2=

3p+5

2k

=p，再由數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，能求出p．

解答：解：由題設(shè)知，a₁=11，
a₂=3×11+5=38，
a3=

38

2

=19，
a₄=3×19+5=62，
a5=

62

2

=31，
a₆=3×31+5=98，
a7=

98

2

=49，
a₈=3×49+5=152，
a9=

152

23

=19，
∴{a_n}從第3項(xiàng)開始是周期為6的周期數(shù)列，
∴a₁₀₀=a_{3+（6×16+1）}=a₄=62．
若存在m∈N^*，當(dāng)n＞m且a_n為奇數(shù)時(shí)，a_n恒為常數(shù)p，
則a_n=p，a_n+1=3p+5，an+2=

3p+5

2k

=p，
∴（3-2^k）p=-5，
∵數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，
∴當(dāng)k=2時(shí)，p=5，
當(dāng)k=3時(shí)，p=1．
故答案為：62，1或5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推公式的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)分別求出a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆，a₇，a₈，a₉，仔細(xì)觀察能夠發(fā)現(xiàn){a_n}從第3項(xiàng)開始是周期為6的周期數(shù)列，借助數(shù)列的周期性進(jìn)行求解．