【題目】已知橢圓中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,直線與橢圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)是,點(diǎn)在軸上的射影恰好是橢圓的右焦點(diǎn),橢圓另一個(gè)焦點(diǎn)是,且.
(1)求橢圓的方程;
(2)直線過點(diǎn),且與橢圓交于兩點(diǎn),求的內(nèi)切圓面積的最大值.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)利用將點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入直線,求得點(diǎn)的坐標(biāo),代入的坐標(biāo)運(yùn)算,求得的值,也即求得點(diǎn)的坐標(biāo),將的坐標(biāo)代入橢圓,結(jié)合,解方程組求得的值,進(jìn)而求得橢圓方程.(2)設(shè)出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程并寫出根與系數(shù)關(guān)系,由此求得的面積,利用導(dǎo)數(shù)求得面積的最大值,并由三角形與內(nèi)切圓有關(guān)的面積公式,求得內(nèi)切圓的半徑的最大值.
(1)設(shè)橢圓方程為,點(diǎn)在直線上,且點(diǎn)在軸上的射影恰好是橢圓的右焦點(diǎn),則點(diǎn).
∵
∴
又
解得
∴橢圓方程為
(2)由(1)知,,過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),
則的周長為,又(為三角形內(nèi)切圓半徑),
∴當(dāng)的面積最大時(shí),其內(nèi)切圓面積最大.
設(shè)直線的方程為:,,則
消去得,
∴
∴
令,則,∴
令,
當(dāng)時(shí),,
在上單調(diào)遞增,
∴,當(dāng)時(shí)取等號(hào),
即當(dāng)時(shí),的面積最大值為3,
結(jié)合,得的最大值為,
∴內(nèi)切圓面積的最大值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從某電子商務(wù)平臺(tái)隨機(jī)抽取了1000位網(wǎng)上購物者(年消費(fèi)都達(dá)到2000元),并對(duì)他們的年齡進(jìn)行了調(diào)查,統(tǒng)計(jì)情況如下表所示:
年齡 | ||||||
人數(shù) | 100 | 150 | 400 | 200 | 100 | 50 |
該電子商務(wù)平臺(tái)將年齡在的人群定義為消費(fèi)主力軍,其它年齡段定義為消費(fèi)潛力軍.
(1)若該電子商務(wù)平臺(tái)共10萬位網(wǎng)上購物者,試估計(jì)消費(fèi)主力軍的人數(shù);
(2)為了鼓勵(lì)消費(fèi)潛力軍消費(fèi),該平臺(tái)決定對(duì)年消費(fèi)達(dá)到2000元的購物者發(fā)放代金券,消費(fèi)主力軍每人發(fā)放100元,消費(fèi)潛力軍每人發(fā)放200元.現(xiàn)采用分層抽樣(按消費(fèi)主力軍與消費(fèi)潛力軍分層)的方式從參與調(diào)查的1000位網(wǎng)上購物者中抽取10人,并在這10人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行回訪,求這3人獲得代金券總金額(單位:元)的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系 中,曲線 的參數(shù)方程為 (為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線 的極坐標(biāo)方程為 .
(1)求直線和曲線的普通方程;
(2)已知點(diǎn),且直線和曲線交于兩點(diǎn),求 的值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在某次活動(dòng)中,有5名幸運(yùn)之星.這5名幸運(yùn)之星可獲得、兩種獎(jiǎng)品中的一種,并規(guī)定:每個(gè)人通過拋擲一枚質(zhì)地均為的骰子決定自己最終獲得哪一種獎(jiǎng)品(骰子的六個(gè)面上的點(diǎn)數(shù)分別為1點(diǎn)、2點(diǎn)、3點(diǎn)、4點(diǎn)、5點(diǎn)、6點(diǎn)),拋擲點(diǎn)數(shù)小于3的獲得獎(jiǎng)品,拋擲點(diǎn)數(shù)不小于3的獲得獎(jiǎng)品.
(1)求這5名幸運(yùn)之星中獲得獎(jiǎng)品的人數(shù)大于獲得獎(jiǎng)品的人數(shù)的概率;
(2)設(shè)、分別為獲得、兩種獎(jiǎng)品的人數(shù),并記,求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知球是正三棱錐(底面為正三角形,頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心)的外接球,,,點(diǎn)在線段上,且,過點(diǎn)作球的截面,則所得截面圓面積的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),直線,設(shè)圓的半徑為1, 圓心在上.
(1)若圓心也在直線上,過點(diǎn)作圓的切線,求切線方程;
(2)若圓上存在點(diǎn),使,求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中直線與拋物線C:交于A,B兩點(diǎn),且.
求C的方程;
若D為直線外一點(diǎn),且的外心M在C上,求M的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓,如圖所示,斜率為且不過原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,射線交橢圓于點(diǎn),交直線于點(diǎn).
(1)求的最小值;
(2)若,求證:直線過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校組織甲、乙、丙、丁、戊、己等6名學(xué)生參加演講比賽,采用抽簽法決定演講順序,在“學(xué)生甲和乙都不是第一個(gè)出場(chǎng),且甲不是最后一個(gè)出場(chǎng)”的前提下,學(xué)生丙第一個(gè)出場(chǎng)的概率為__________.
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