Question

5．已知在函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-2{x^2}+ax（{a∈R}）$的所有切線中，有且僅有一條切線l與直線y=x垂直．
（1）求a的值和切線l的方程；
（2）設(shè)曲線y=f（x）在任一點處的切線傾斜角為α，求α的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=x²-4x+a，由題意知，方程x²-4x+a=-1有兩個相等的根，即可求a的值；求出切點坐標(biāo)，可得切線l的方程；
（2）由（1）知k=x²-4x+3=（x-2）²-1≥-1，即可求α的取值范圍．

解答 解：（1）f′（x）=x²-4x+a，由題意知，方程x²-4x+a=-1有兩個相等的根，
∴△=（-4）²-4（a+1）=0，∴a=3
此時方程x²-4x+a=-1化為x²-4x+4=0，得x=2，
解得切點的縱坐標(biāo)為$f（2）=\frac{2}{3}$，
∴切線l的方程為$y-\frac{2}{3}=-（{x-2}）$，即3x+3y-8=0．
（2）設(shè)曲線y=f（x）上任一點（x，y）處的切線的斜率為k（由題意知k存在），
則由（1）知k=x²-4x+3=（x-2）²-1≥-1，
∴由正切函數(shù)的單調(diào)性可得α的取值范圍為$0≤α＜\frac{π}{2}$或$\frac{3π}{4}≤α＜π$．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．