Question

10．如圖，四邊形ABCD是矩形，AB=1，$AD=\sqrt{2}$，E是AD的中點(diǎn)，BE與AC交于點(diǎn)F，GF⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求證：AF⊥面BEG；
（Ⅱ）若AF=FG，求二面角E-AG-B所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ι）推導(dǎo)出AEF∽△CBF，從而AC⊥BE，再求出AC⊥GF，由此能證明AF⊥平面BEG．
（Ⅱ）以點(diǎn)F為原點(diǎn)，F(xiàn)A，F(xiàn)E，F(xiàn)G所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角E-AG-B所成角的余弦值．

解答 證明：（Ι）∵四邊形ABCD為矩形，∴△AEF∽△CBF，
∴$\frac{AF}{CF}=\frac{EF}{BF}=\frac{AE}{BC}=\frac{1}{2}$…（1分）
又∵矩形ABCD中，$AB=1，AD=\sqrt{2}$，∴$AE=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，AC=\sqrt{3}$
在Rt△BEA中，$BE=\sqrt{A{B^2}+A{E^2}}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，∴$AF=\frac{1}{3}AC=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，$BF=\frac{2}{3}BE=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
在△ABF中，$A{F^2}+B{F^2}={（\frac{{\sqrt{3}}}{3}）^2}+{（\frac{{\sqrt{6}}}{3}）^2}=1=A{B^2}$
∴∠AFB=90°，即AC⊥BE…（2分）
∵GF⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥GF…（3分）
又∵BE∩GF=F，BE，GF?平面BCE，
∴AF⊥平面BEG…（4分）
解：（Ⅱ）由（Ι）得AD，BE，F(xiàn)G兩兩垂直，
以點(diǎn)F為原點(diǎn)，F(xiàn)A，F(xiàn)E，F(xiàn)G所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則$A（{\frac{{\sqrt{3}}}{3}，0，0}）$，$B（{0，-\frac{{\sqrt{6}}}{3}，0}）$，$G（{0，0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$，$E（{0，\frac{{\sqrt{6}}}{6}，0}）$，
$\overrightarrow{AB}=（{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，-\frac{{\sqrt{6}}}{3}，0}）$，$\overrightarrow{AG}=（{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$，$\overrightarrow{EG}=（{0，-\frac{{\sqrt{6}}}{6}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$，$\overrightarrow{AE}=（{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{6}}}{6}，0}）$…（6分）
設(shè)$\overrightarrow n=（x，y，z）$是平面ABG的法向量，
則$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow n=0}\hfill\\{\overrightarrow{AG}•\overrightarrow n=0}\hfill\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x-\frac{{\sqrt{6}}}{3}y=0}\hfill\\{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+\frac{{\sqrt{3}}}{3}z=0}\hfill\end{array}}\right.$，取$x=\sqrt{2}$，得$\overrightarrow n=（\sqrt{2}，-1，\sqrt{2}）$…（8分）
設(shè)$\overrightarrow m=（x，y，z）$是平面AEG的法向量，
則$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow n=0}\hfill\\{\overrightarrow{AG}•\overrightarrow n=0}\hfill\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+\frac{{\sqrt{6}}}{6}y=0}\hfill\\{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+\frac{{\sqrt{3}}}{3}z=0}\hfill\end{array}}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow m=（1，\sqrt{2}，1）$…10分
設(shè)平面AEG與平面ABG所成角的大小為θ，
則$|{cosθ}|=\frac{{|{\overrightarrow m•\overrightarrow n}|}}{{|{\overrightarrow m}||{\overrightarrow n}|}}=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$…（11分）
∵平面AEG與平面ABG成鈍二面角
∴二面角E-AG-B所成角的余弦值為$-\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．…．（12分）

點(diǎn)評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．