Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，E是PC的中點．
（1）證明平面BDE⊥平面PBC；
（2）求二面角E-BD-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由等腰三角形的性質(zhì)，證出DE⊥PC．由PD⊥底面ABCD得PD⊥AD，結(jié)合AD⊥CD證出AD⊥平面PCD，從而得到AD⊥DE，結(jié)合題意AD∥BC得BC⊥DE．由線面垂直的判定定理證出DE⊥平面PBC，從而證出平面BDE⊥平面PBC．
（2）連接AC交BD于點M，分別取CD、DM的中點F、N，連接EN、FN、EF．可證出FN⊥BD且EN⊥BD，得∠ENF為二面角E-BD-C的平面角，在Rt△EFN中算出FN、EN的長，利用三角函數(shù)的定義即可求出二面角E-BD-C的余弦值．

解答：解：（1）∵PD=DC，E是PC的中點，∴DE⊥PC．
∵PD⊥底面ABCD，AD?底面ABCD，∴PD⊥AD
又∵AD⊥CD，PD、CD是平面PCD內(nèi)的相交直線，
∴AD⊥平面PCD，結(jié)合DE?平面PCD，得AD⊥DE．
由題意得AD∥BC，故BC⊥DE．
∵BC、PC是平面PBC內(nèi)的相交直線，DE⊥PC
∴DE⊥平面PBC．
∵DE?平面BDE，∴平面BDE⊥平面PBC．
（2）連接AC，交BD于點M，分別取CD、DM的中點F、N，
連接EN、FN、EF，可得
∵EF為△PCD的中位線，∴EF∥PD
∵PD⊥底面ABCD，∴EF⊥底面ABCD
因此，EN在平面ABCD內(nèi)的射影為FN
∵正方形ABCD中FN⊥BD，∴EN⊥BD
因此，∠ENF為二面角E-BD-C的平面角，
又∵EF=

1

2

，F(xiàn)N=

2

4

，
∴由勾股定理得EN=

EF2+FN2

=

6

4

，
在Rt△EFN中，cos∠ENF=

FN

EN

=

3

3

∴二面角E-BD-C的余弦值為

3

3

．

點評：本題在特殊四棱錐中求證面面垂直，并求二面角的大�。�著重考查了空間線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)，二面角的定義及求法等知識，考查了空間想象能力．屬于中檔題．