直三棱柱ABC-A
1B
1C
1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA
1=4，點D在AB上．
（Ⅰ）求證：AC⊥B
1C；
（Ⅱ）若D是AB中點，求證：AC
1∥平面B
1CD；
（Ⅲ）當(dāng)
=時，求二面角B-CD-B
1的余弦值．
證明：（Ⅰ）在△ABC中，因為AB=5，AC=4，BC=3，
所以AC
2+BC
2=AB
2，所以AC⊥BC．
因為直三棱柱ABC-A
1B
1C
1，所以CC
1⊥AC．
因為BC∩AC=C，
所以AC⊥平面BB
1C
1C．
所以AC⊥B
1C．
（Ⅱ）證明：連接BC
1，交B
1C于E，DE．
因為直三棱柱ABC-A
1B
1C
1，D是AB中點，
所以側(cè)面BB
1C
1C為矩形，DE為△ABC
1的中位線，
所以DE
∥AC
1．
因為DE?平面B
1CD，AC
1?平面B
1CD，
所以AC
1∥平面B
1CD．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知AC⊥BC，
所以如圖，以C為原點建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz．
則B（3，0，0），A（0，4，0），A
1（0，0，c），B
1（3，0，4）．
設(shè)D（a，b，0）（a＞0，b＞0），
因為點D在線段AB上，且
=，即
=．
所以a=2，
b=，
=(-1，，0)．
所以
=(3，0，4)，
=(-3，4，0)，
=(2，，0)．
平面BCD的法向量為
=(0，0，1)．
設(shè)平面B
1CD的法向量為
=(x，y，1)，
由
•=0，
•=0，得
，
所以
x=-，y=2，
=(-，2，1)．
設(shè)二面角B-CD-B
1的大小為θ，
所以
cosθ==．
所以二面角B-CD-B
1的余弦值為
．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目：高中數(shù)學(xué)
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設(shè)S為
平面外的一點，SA=SB=SC，
，若
，求證：平面ASC
平面ABC。
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：不詳
題型：解答題
在直角梯形PBCD中，
∠D=∠C=，BC=CD=2，PD=4，A為PD的中點，如圖．將△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，點E在SD上，且
=，如圖．
（Ⅰ）求證：SA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角E-AC-D的正切值．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：不詳
題型：解答題
如圖，三棱柱ABC-A
1B
1C
1中，側(cè)面AA
1CC
1⊥底面ABC，AA
1=A
1C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O為AC的中點，E為BC
1的中點
（1）求證：OE
∥平面A
1AB；
（2）求二面角A-A
1B-C
1的正弦值．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：不詳
題型：解答題
在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=2AB．（1）求證：BD⊥PC；
（2）求三棱錐A-PCD的體積；
（3）求二面角B-PC-D的余弦值．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：不詳
題型：解答題
如圖，矩形ABCD中，BC=2，AB=1，PA丄平面ABCD，BE
∥PA，BE=
PA，F(xiàn)為PA的中點．
（I）求證：DF
∥平面PEC
（II）若PE=
，求平面PEC與平面PAD所成銳二面角的余弦值．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：不詳
題型：單選題
平面α的一個法向量為
=(1，-，0)，則y軸與平面α所成的角的大小為（ �。�
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：不詳
題型：解答題
如圖所示，正方形AA
1D
1D與矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，點E為AB的中點．
（1）求證：BD
1∥平面A
1DE；
（2）求證：D
1E⊥A
1D；
（3）在線段AB上是否存在點E，使二面角D
1-EC-D的大小為
？若存在，求出AE的長；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：不詳
題型：解答題
在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF
∥AB，∠BAF=90°，AD=2，AB=AF=2EF=1，點P在棱DF上．
（Ⅰ）若P是DF的中點，
（�。┣笞C：BF
∥平面ACP；
（ⅱ）求異面直線BE與CP所成角的余弦值；
（Ⅱ）若二面角D-AP-C的余弦值為
，求PF的長度．
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