Question

如圖所示，正方形AA₁D₁D與矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．
（1）求證：BD₁∥平面A₁DE；
（2）求證：D₁E⊥A₁D；
（3）在線段AB上是否存在點(diǎn)E，使二面角D₁-EC-D的大小為

π

6

？若存在，求出AE的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

證明：（1）四邊形ADD₁A₁為正方形，O是AD₁的中點(diǎn)，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，連接OE．
∴EO為△ABD₁的中位線∴EO∥BD₁…（2分）
又∵BD₁?平面A₁DE，OB?平面A₁DE∴BD₁∥平面A₁DE…（4分）
（2）由已知可得：AE⊥平面ADD₁A₁，A₁D?平面ADD₁A₁
∴AE⊥A₁D，
又∵A₁D⊥AD₁，AE∩AD₁=A
∴A₁D⊥平面AD₁E，D₁E?平面AD₁E
∴A₁D⊥D₁E…．（4分）
（3）由題意可得：D₁D⊥平面ABCD，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA，DC，DD₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），C（0，2，0），A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），
設(shè)E（1，y₀，0）（0≤y₀≤2），
∵

EC

=(-1，2-y0，0)，

D1C

=(0，2，-1)
設(shè)平面D₁EC的法向量為

n1

=（x，y，z）則

n1 • EC =0 n1 • D1C =0

，得

-x+y(2-y0)=0 2y-z=0

取

n1

是平面D₁EC的一個(gè)法向量，而平面ECD的一個(gè)法向量為

n2

=（0，0，1），要使二面角D₁-EC-D的大小為

π

6

，
而cos

π

6

=|cos＜

n1

，

n2

＞|=

| n1 • n2 |

| n1 |•| n2 |

=

2

(2-y0)2+12+22

=

3

2

解得：y0=2-

3

3

(0≤y0≤2)，當(dāng)AE=2-

3

3

時(shí)，二面角D₁-EC-D的大小為

π

6

…（6分）